Coto Open - Math Prospective

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A través de los años y experiencias trabajando con niños, adolescentes y adultos en los temas de matemáticas y cálculo mental, hemos llegado a diversas conclusiones sobre las cuales establecemos la base de nuestra propuesta de concepto de cálculo mental. Sin embargo, también nos apoyamos en las investigaciones de otros que nos permiten ya sea confirmar nuestras hipótesis o generar nuevas áreas de trabajo para mejorar.

A continuación se exponen algunos artículos de investigación alrededor de las matemáticas y el cálculo mental que consideramos interesantes para profundizar en el tema. Hemos decidido sólo mostrar extractos por cuestión de espacio, pero citando la fuente. Para los extractos hemos hecho algunas ligeras modificaciones de modo que no sea tan caótica la lectura pues la información está seccionada. Si se requiere ver el contexto original de cada texto se puede buscar el artículo completo.

Gálvez, G., Cosmelli, D., Cubillos, L., Leger, P., Mena, A., Tanter, E., Flores, X., Luci, G., Montoya, S. y Soto-Andrade, J. (2011). Estrategias cognitivas para el cálculo mental, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 14 (1), 9-40.

“En la mayoría de las aulas todavía se enseña procedimientos únicos de cálculo escrito que utilizan y memorizan los alumnos, por lo cual son incapaces de detectar y corregir los errores en su aplicación, quedando supeditados a las correcciones del profesor para validar sus resultados”.

“Apropiarse de las estrategias del CM implica utilizar de manera flexible y “oportunista” las propiedades del sistema de numeración y de las operaciones aritméticas para sustituir un cálculo que se propone en una situación dada por otro equivalente, pero más sencillo. Así, se desarrollan estrategias no convencionales “situadas”, en el sentido que consideran la situación numérica donde se plantea el cálculo a realizar”.

“La enseñanza habitual no sólo no fomenta el cálculo mental, sino que tiende a bloquear en los niños la búsqueda de estrategias alternativas para abordar problemas, incluyendo los más elementales. En realidad, parecería que se tiende a cristalizar las respuestas de los niños porque pierden de manera progresiva la espontaneidad y se “sedimentan”, dejando como única vía de acción la reproducción de técnicas previamente memorizadas”.

“Nos interesamos, entonces, en estimular y facilitar la práctica de un CM “situado” y “reflexivo” que supere el “psitacismo algorítmico” en que suele desembocar el entrenamiento tradicional del cálculo, donde los alumnos aprenden de memoria recetas universales, válidas para números cualesquiera, independientemente de su forma y de las relaciones particulares que existen entre ellos”.

“Una primera descripción de nuestra multimodalidad cognitiva involucraría los tres modos internos de representación que propone Bruner: enactivo (basado en la acción y la motricidad), icónico (sustentado en imágenes) y simbólico (fundamentado en símbolos y lenguajes)”.

“Durante su desarrollo cognitivo, el niño transita desde lo enactivo a lo simbólico, pasando por lo icónico, pero no habría que creer que éste es un progreso unidireccional, sin retorno: la resolución de diversos problemas se hace posible muchas veces por un tránsito “descendente” de lo simbólico a lo icónico o a lo enactivo, como sucede en la activación de metáforas sensoriomotrices”.

“Por ello, en el aprendizaje de las matemáticas el CM es un dominio donde el uso de metáforas como forma de “re-presentar” (presentar de otra manera) o de “imaginarse” un problema deviene no sólo algo explícito, sino también necesario. La suma algorítmica vertical se escribe de manera natural en el papel, pero si al calcular mentalmente no nos reducimos a visualizar el algoritmo escrito, surgen metáforas como juntar, añadir, llenar o avanzar, cuya activación pone en juego capacidades sensoriomotrices relevantes para el CM. Por ejemplo, para restar 51-18 nos vemos yendo de la cuadra 18 a la 51 de una larga avenida; caminamos primero hasta la 20, donde tomamos el bus expreso que se detiene sólo cada diez cuadras. Descendemos en la cuadra 50 y caminamos una más para llegar a nuestro destino. En total: 2+30+1=30+(2+1)=30+3=33”.

“De este modo, vemos cómo en lugar de la aplicación mecánica de un algoritmo memorizado (resta con reserva), el niño puede recurrir a una “visualización numérica” que podría estar ligada a una activación idiosincrásica de la metáfora de la pista numérica, bajo la forma “sumar es avanzar, restar es retroceder”, o también “restar es recorrer lo que falta”. Por supuesto, esta posible activación depende de la experiencia previa del niño, su modo cognitivo predominante, sus interacciones sociales, el contrato didáctico vigente en el aula, entre otros aspectos”.

“Distintas regiones cerebrales y, correlativamente, distintos tipos de funciones (motrices, sensoriales, asociativas, atencionales) maduran en diferentes momentos del desarrollo, entre los 4 y los 21 años. A grandes rasgos, primero aparece lo sensoriomotor, luego lo asociativo y finalmente lo referente al control atencional. Esto sugiere que una intervención temprana, donde se fomente el uso de metáforas sensoriomotrices antes que las representaciones abstractas, es coherente con las etapas de desarrollo del cerebro, en particular con el de la materia gris”.

“Brissiaud propone enseñar el CM para “extender la red de relaciones numéricas conocidas” más allá de las relaciones de vecindad, y posibilitar que los alumnos pongan en práctica procedimientos “espontáneos” de cálculo pensado. Se trata de un cálculo particularizante, donde el alumno debe aprender a hacer “buenas elecciones” frente a cada caso”.

“Los países que tienen mejores resultados en las pruebas comparativas internacionales de matemáticas, como Corea, China, Japón, Singapur o Australia, han considerado al CM en sus estándares. Este puede ser un factor relevante, aunque también incide el hecho de que, en los países del extremo oriente, el formato lingüístico de los números facilita el CM, a diferencia de lo que sucede en Francia o en países de habla hispana. Otro factor importante es sin duda el uso intensivo del ábaco en el primer ciclo básico en dichos países, lo cual genera una componente importante del CM automatizado; por ejemplo, el de los complementos a 10. Cabe señalar que en Japón se promueve el CM desde temprana edad. El objetivo es evitar que el cálculo se convierta en una simple rutina y lograr que el alumno se mantenga explorando individual y colectivamente otras facetas de la materia en estudio. El diseño de estrategias de cálculo es una de ellas, mientras que explicar los cálculos mentales es una forma de aprendizaje y comunicación”.

“Con base en los estudios de casos preliminares en grupos piloto, realizados en la primera etapa de nuestra experimentación (datos que no presentamos), los cuales han mostrado que, junto con alumnos de alto Rendimiento Escolar en Matemáticas (REM) y alto nivel de desempeño en CM, hay otros de mediocre REM, pero de alto CM, esperamos que haya una correlación global prácticamente nula entre el desempeño en CM y el REM. Esto se debería a la presencia de segmentos mixtos (alto en uno, bajo en otro) que son porcentualmente tan importantes en nuestra muestra como el segmento superior (altos ambos), donde sí esperamos una correlación positiva significativa”.

“Consideramos importante que los niños tengan la posibilidad de trabajar con representaciones gráficas intuitivas, ya que al incorporarlas a nuestro sistema informático podremos también investigar con más precisión el rol —poco apreciado hasta ahora— que cumple la visualización geométrica en la generación de estrategias situadas eficaces para el cálculo mental”.

“Por último, es pertinente enfatizar que el espectro de estrategias observadas en nuestro estudio revela una ausencia casi total de representaciones, visualizaciones o metáforas —como la pista o la recta numérica, u otras que utilicen monedas o fichas—, incluso en el caso de niños que ya las han visto en su escuela. Proponemos que estas representaciones o metáforas son utilizadas en actividades anecdóticas o en simples ilustraciones de un algoritmo, en vez de jugar un rol propiamente enactivo, que incida en el proceso cognitivo del alumno y en su construcción de conceptos. Constatamos así una ruptura cognitiva y didáctica entre una experiencia previa concreta y un CM que aparece como un juego aritmético esotérico y desencarnado. Por tanto, concluimos que es urgente promover este tipo de visualizaciones y representaciones en el contexto del CM”.

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Cortés, J., Backhoff, E. y Organista, J. (2004). Estrategias de cálculo mental utilizadas por estudiantes de nivel secundaria de Baja California, Educación matemática, 16 (1), 149-168.

“Mancera afirma que el desarrollo de las nociones matemáticas es un proceso paulatino que construye el niño a partir de la experiencia que le brinda la interacción con los objetos de su entorno, permitiéndole crear mentalmente relaciones y comparaciones entre ellos, así como establecer semejanzas y diferencias de sus atributos para clasificar y proponer relaciones de orden y de cantidad que le posibilitan estructurar el concepto de número con base en la intuición de cantidad”.

“Por su parte, el consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, 1989) ha definido la intuición de cantidad como el sentido del número. Sowder se refiere al sentido del número como una red conceptual bien organizada que da habilidad para relacionar operaciones y para resolver problemas numéricos por caminos flexibles y creativos. Ya que la estructura del sistema numérico y el sentido del número están asociados, la habilidad en el cálculo estimativo lleva al sentido del número y viceversa”.

“Hazekamp y Reys, Reys y Hope entienden al cálculo estimativo como la habilidad para llevar a cabo un cálculo numérico del cual se obtiene una respuesta aproximada, utilizando únicamente procedimientos mentales; es decir, sin el uso de lápiz y papel o cualquier otro dispositivo de cálculo o registro. Esta habilidad es central para desarrollar el sentido del número en los estudiantes. De hecho, los procedimientos propiamente mentales que el alumno lleva a cabo en este tipo de cálculos son diferentes a los que se aplican cuando se recurre a los algoritmos de lápiz y papel, tradicionalmente enseñados en el aula”

“La estimación de resultados de operaciones aritméticas y los problemas que las incluyen no se enseñan de manera explícita en las escuelas mexicanas, por lo que recomiendan que se dedique menos tiempo a los métodos tradicionales con lápiz y papel y se ponga más atención a los cálculos mentales, en especial al cálculo estimativo. Asimismo, otros investigadores opinan que, a pesar de las recomendaciones para incluir la enseñanza del cálculo estimativo en los programas de estudio, los maestros por lo general no lo enseñan”.

“Las personas utilizan distintas estrategias de cálculo mental para resolver problemas aritméticos. También coinciden en señalar que una misma estrategia no es adecuada para todos los problemas, y que una característica importante del buen estimador es saber elegir y utilizar las estrategias adecuadas en cada problema. Las estrategias que estos autores consideran de mayor importancia son las siguientes: a) dígito de la izquierda, b) agrupación, c) redondeo, d) números compatibles y e) números especiales”.

“El cálculo estimativo no se enseña ni se practica sistemáticamente en las escuelas secundarias, aunque se contemple en los programas de estudios respectivos. Lo anterior es evidente por los bajos resultados que obtuvieron los estudiantes, y por los comentarios que ellos hicieron durante el examen y la entrevista, que reflejaron que no estaban acostumbrados al manejo de este tipo de problemas. Por consiguiente, es comprensible que los alumnos desarrollen un bajo sentido del número, que no encuentren relaciones entre las estructuras numéricas y que no visualicen caminos para resolver problemas mentalmente. Sin embargo, es cierto que también encontramos buenos estimadores que, por lo general, tienen promedios altos en los cursos de matemáticas. Es interesante notar que ellos comentan que el cálculo estimativo lo practican en la vida cotidiana, principalmente en actividades extra escolares; por ejemplo, cuando van a la tienda a comprar alguna mercancía y cuando cuentan el dinero que deben regresar a sus padres”.

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Leger, P., Gálvez, G., Inostroza, M., Cubillos, L., Luci, G., Tanter, E., Cosmelli, D. y Soto-Andrade, J. (2014). ECOCAM, un sistema computacional adaptable al contexto para promover estrategias de cálculo mental: características de su diseño y resultados preliminares, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática, 17 (1), 33-58.

“La introducción de la aritmética en la escuela tuvo como uno de sus objetivos primordiales el que los estudiantes adquirieran una destreza en el cálculo, exacto y rápido, de las operaciones numéricas básicas que les sería útiles en la vida adulta, particularmente en las actividades de compraventa. Para ello se enseñaba procedimientos estandarizados, aplicables a cualquier par de números (conocidos actualmente como “algoritmos convencionales” o “universales”), con el apoyo de diversos instrumentos, según la cultura de la sociedad en que estaba inserta la escuela, ábaco en algunas, papel y lápiz en otras. La memorización de algunos resultados (por ejemplo, complementos a 10, sumas, productos) agilizaba este proceso de cálculo. Esta memorización de datos recibió originalmente el nombre de Cálculo Mental (CM)”.

“La evolución de los instrumentos de cálculo disponibles a nivel masivo en la población (calculadora de bolsillo, luego teléfono celular) y la evolución del debate social sobre la importancia de adquirir destreza en el cálculo aritmético en la formación matemática de los estudiantes de educación general básica, han puesto en evidencia que el CM tiene hoy un rol cognitivo y didáctico más relevante que su rol utilitario de antaño. Se habla así de “CM reflexivo” o “pensado” sin menospreciar su componente “automatizado””.

“En esta concepción, la comprensión de los números y su operatoria por parte de los alumnos se manifiesta notablemente en el repertorio de estrategias, tanto idiosincrásicas como aprendidas, que emplean al abordar una tarea de CM”.

“Constatamos así los efectos dañinos del énfasis en los algoritmos únicos y estandarizados de CM, ya que los docentes de la escuela básica habitualmente enseñan un procedimiento estándar único, paso a paso, para cada operación, aunque resulte a veces engorroso y susceptible a errores”.

“Se juzga necesario entonces promover Estrategias de Cálculo Mental (ECMs) que suministren mecanismos sencillos, equivalentes a los algoritmos convencionales, pero que utilicen de manera flexible y “oportunista” propiedades del sistema de numeración y de las operaciones aritméticas”.

“Las ECMs son más que simples procedimientos y tienen la virtud de estar “situadas” en lo cognitivo. Son “oportunistas”, en el sentido de ser adaptativas y depender de cómo vea el sujeto la situación específica involucrada en la tarea propuesta de CM, en particular la naturaleza de los números involucrados. Se contraponen así a los algoritmos convencionales, o universales, que son “burocráticos”, en el sentido de tratar a todos los números por igual y aplicarse de manera independiente de la situación específica considerada”.

“No se trata por lo demás de establecer “la mejor estrategia” para cada situación, sino más bien de “tener a la vista”, como hacen los profesores japoneses en el método de estudio de clases, una variedad de estrategias, propuestas por los propios alumnos, cada una con ventajas y desventajas. Esto no invalida el hecho importante, que los alumnos puedan tener preferencias afectivas por una u otra estrategia”.

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Galindo, S., Rodríguez, M. (2014) Los calculistas mentales, Ciencia Ergo Sum, 21 (3), noviembre, 257-267.

“Los calculistas mentales, sujetos que realizan en un instante complejas operaciones aritméticas, han desarrollado habilidades que nos parecen -al resto de mortales- sorprendentes y aún increíbles. Estos sujetos se distinguen por su capacidad de concentración e increíble memoria y además emplean procedimientos de cálculo distintos a los que ordinariamente ocupamos en nuestra vida cotidiana. Este trabajo trata sobre dichos procedimientos mostrando que difieren de los algoritmos tradicionales”.

“Es bien sabido que las personas como de Grote –poseedoras de notables cualidades mentales– son capaces de hacer rápidamente asombrosos cálculos aritméticos porque poseen dos habilidades: la primera es su poder de concentración, no se distraen de su tarea, y la segunda es la memoria para recordar al instante los resultados numéricos que ellos mismos van produciendo durante las etapas que conlleva el desarrollo de sus operaciones. Sin embargo, existe un tercer factor: utilizan procedimientos de cálculo, como veremos más adelante, distintos a los que ordinariamente empleamos en nuestra vida cotidiana”.

“Este trabajo está dirigido a aquellos lectores que alguna vez se han preguntado cómo realizan sus cálculos estos personajes. Nosotros, los autores, nos hicimos la misma pregunta hace unos meses cuando nos mostraron una copia del acta que atestigua el cálculo hecho por de Grote. Nos enfocaremos en describir a través de la literatura publicada, algunos de los rasgos y procedimientos de cálculo utilizados por estos prodigios mentales. Veremos que los procedimientos que emplean los calculistas difieren de los algoritmos tradicionales de cálculo aritmético, procedimientos que son considerados normalmente para hacer operaciones aritméticas como los más rápidos y adecuados”.

“Los calculistas alteran el orden habitual en el que se realizan las operaciones aritméticas, adecuándolas a su particular esquema mental para visualizar y realizar sus cálculos; el segundo es que a veces no necesitan ejecutar directamente todos los cálculos involucrados en una operación aritmética, ya que se pueden valer de atajos y conjeturas inteligentes que los conducen rápidamente al resultado. Este segundo hecho es crucial pues permite la extracción rápida de raíces exactas”.

“En la actualidad los calculistas modernos, al igual que lo hicieron sus colegas de tiempos pasados, usan sus habilidades para impresionar al público y algunos han convertido esta actividad en su modus vivendi. Hoy en día sus demostraciones ya no se limitan a simples mecanizaciones como la multiplicación o división, sino que se han diversificado. Gustan de mostrar su pericia mental mediante demostraciones de extracción de raíces enteras de grandes potencias con muchos dígitos. La más popular consiste en calcular mentalmente la raíz decimotercera de un número de 100 dígitos (raíz-13). Esta actividad se ha convertido en la prueba de referencia o el benchmark para demostrar su destreza como calculistas”.

“La imagen pública de los calculistas mentales es, hoy por hoy, la de una especie de “genios” sin que el público tenga una idea clara de en qué radica eso. Al respecto, la prensa mexicana recientemente se ha ocupado de una menor de 12 años, bautizada como “la futura Steve Jobs” (“the next Steve Jobs”), por Wired Magazine, en alusión al ya fallecido cofundador de Apple Inc. La niña obtuvo la puntuación más alta en matemáticas en la prueba enlace 2012 (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares), que es una prueba del Sistema Educativo de los Estados Unidos Mexicanos que se aplica a estudiantes de tercero a sexto de primaria de planteles públicos y privados del país en las asignaturas de español y matemáticas. El objetivo de la prueba es evaluar las habilidades y conocimientos adquiridos por los educandos tras su paso por el sistema educativo. Obtener un alto puntaje en dicha prueba presupone que el alumno asimiló (proporcionalmente a la calificación obtenida) los conocimientos matemáticos que se le enseñaron en clases. Adicionalmente, la prueba valora la capacidad de los estudiantes de emplear lo aprendido en la vida cotidiana. Es importante enfatizar que no pretende identificar talentos matemáticos, sino juzgar el desempeño global de las escuelas. No obstante, y a pesar de que el objetivo es preciso, la niña fue considerada por muchos como un genio infantil y por ende como una calculista mental nata. Esto motivó a que su tutor la inscribiera al Quinto Campeonato Nacional de Cálculo Mental organizado por una institución privada de Monterrey, México”.

“Sin embargo, y contrario a las altas expectativas sobre la niña creadas en el público por la prensa nacional mediante titulares sensacionalistas, su participación fue desastrosa. Este hecho muestra, por un lado, la irresponsabilidad del tutor de la menor y, por otro, la ignorancia generalizada de muchos periodistas y su público lector sobre las habilidades que poseen los calculistas mentales”.

“En este artículo hemos tratado de esclarecer la verdadera naturaleza de los calculistas mentales señalando la memoria y poder de concentración extraordinario que poseen. Sin embargo, algunos lectores podrían cuestionarse ¿cuál es la relevancia de investigar cómo realizan sus deducciones los calculistas? si a fin de cuentas cualquier individuo empleando una computadora puede obtener los mismos resultados, pero en una pequeñísima fracción de tiempo”.

“En efecto, el advenimiento de las calculadoras aritméticas –presentes en muchos dispositivos electrónicos actuales que van desde las calculadoras y tabletas electrónicas, hasta los teléfonos celulares– ha hecho que no se practiquen hoy en día los más simples cálculos mentales. “Ya casi nadie sabe sacar raíces cuadradas” se escucha con frecuencia. Pero también dividir por más de tres cifras. Actualmente se opera con lentitud y con errores. Los alumnos dependen en grado preocupante de las calculadoras Sabemos que las aptitudes humanas no son estáticas, sino que aumentan o disminuyen en función del tipo de actividad mental que se realice. Si nuestros alumnos no se ejercitan en destrezas de cálculo simple, es lógico pronosticar un importante descenso”.

“Esto pudiese implicar que en el futuro, las nuevas generaciones no desplieguen ciertas habilidades indispensables en la vida cotidiana como desarrollar una buena memoria, procurar atención y tener la concentración necesaria para dejar de lado cualquier estímulo externo para mantener una actividad exclusivamente intelectual. Debemos recordar que en muchas situaciones cotidianas están involucradas tareas de cálculo mental, de ahí que el poder realizarlas exitosamente constituye ventaja en la vida”.

“Podríamos decir –sin caer en visiones maniqueas– que, de ser ciertas nuestras previsiones, los nuevos tiempos y los nuevos hábitos estarían atrofiando ciertas aptitudes en algunos sectores de la sociedad”.

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Radford, L., André, M. (2009). Cerebro, cognición y matemáticas, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 12 (2), 215-250.

“La enseñanza tradicional no va en la dirección de un crecimiento favorable de las funciones ejecutivas que sirven de fundamento al pensamiento matemático abstracto. No debemos olvidar que la adolescencia es el periodo en el que los bloques cognitivos que han empezado a formarse durante la infancia se refinan, por lo cual implica un periodo de transformación cerebral importante. Como señala Beatriz Luna: Las exigencias académicas aumentan de forma dramática, pues el pensamiento abstracto y la formación de reglas generales se convierten en elementos esenciales para poder llevar a cabo las actividades requeridas por el currículo, tanto en matemáticas como en lectura. Las funciones ejecutivas –funciones que reposan sobre habilidades como la memoria de trabajo y la inhibición de respuestas, y que nos permiten tener un comportamiento voluntario y dirigido hacia objetivos precisos– comienzan a madurar en la adolescencia”.

“Cabe pensar que, sin una estimulación adecuada y constante, la plasticidad del cerebro no será explotada con provecho, y que las conexiones neurológicas de integración que pertenecen a la corteza temporal superior no alcanzarán su nivel máximo de desarrollo”.

“En armonía con la concepción multimodal del pensamiento, Butterworth observa que la emergencia del conteo en los niños moviliza precisamente los tres dominios que hemos citado (1. Orientación en el espacio, 2.  Control de sus propias acciones, 3. Representación de su cuerpo, particularmente los dedos). En efecto, a menudo, cuando el niño empieza a contar, toca o indica con gesto indexical los objetos contados; las acciones y gestos suponen una orientación en el espacio, sin la que el conteo se perdería. De manera frecuente, cuando algunos niños están contando varios objetos frente a ellos, "pierden" la cuenta debido a la falta de orientación espacial entre lo que ha sido tocado o indicado a través del gesto y aquello que queda por contar. Esto también significa una pérdida en el control de las acciones y de la posición respecto a los objetos que están siendo contados”.

“La aparición del lenguaje, primero oral y después escrito, transforma radicalmente la aritmética elemental o innata. Con la inclusión de las palabras "uno", "dos", "tres", etc. en el vocabulario del niño y después en la aritmética simbólica (que se basa en el cálculo y la representación del número con la ayuda de dígitos; por ejemplo, 12+25) surgen nuevas posibilidades que van más allá de la comparación perceptual de objetos y su cálculo limitado. La transición de la aritmética "perceptual" o concreta (que se funda en objetos) a la aritmética abstracta (cuyos sustentos son el lenguaje y los dígitos) está lejos de ser clara y probablemente repose en una activación de las diferentes partes del cerebro”.

“Entre los problemas centrales de la enseñanza en general, y de la enseñanza de las matemáticas en particular, está determinar el momento oportuno del aprendizaje, ya que la formación de las conexiones neurológicas se realiza mejor cuando las conexiones solicitadas para hacer un aprendizaje se encuentran en un periodo de mayor plasticidad; es decir, antes de que estas conexiones hayan adquirido una cierta firmeza que luego será difícil modificar”.

“Así, podemos enunciar la hipótesis de que las técnicas aritméticas de resolución mediante ensayos sistemáticos u operaciones inversas, que se motivan con frecuencia en la primaria, favorecerán conexiones neurológicas "aritméticas" que, aunque son potentes y deseables en su momento, resultarán difíciles de deshacer más adelante si son estimuladas por mucho tiempo. En efecto, al ser mantenidas por mucho tiempo, dichas técnicas no llegarán a ser ayudas susceptibles para realizar el pasaje de la aritmética al algebra, sino obstáculos para el aprendizaje de nuevos conceptos”.

“Desde el punto de vista de la educación, no podemos obtener todo el potencial de la plasticidad del cerebro sin las condiciones pedagógicas que la cultura debe poner en su lugar para asegurar el pleno desarrollo del alumno”.

“Resulta claro que la coordinación sensorial influye en el aprendizaje de conceptos geométricos, como el círculo o el rectángulo. Si se sigue un contorno redondo con la mano y después un contorno anguloso, se siente y se ve una diferencia. En el caso del círculo, se especifica más tarde con el concepto de objeto redondo, y se vuelve a continuación más general cuando se describe el círculo mediante una expresión lingüística que recalca su sentido métrico: como conjunto de los puntos que se encuentran a una misma distancia, r, de un punto fijo (su centro), o a través de un simbolismo algebraico”.

“Puede ser que uno de los problemas con la enseñanza tradicional centrada en el papel y el lápiz es que no permite hacer conexiones durables con la experiencia sensorial vivida por los alumnos en sus primeros años escolares. Por tanto, la fórmula aparece abstracta, sin fundamento y desprovista de sentido”.

“Estas observaciones no quieren decir que sugerimos una enseñanza de las matemáticas ligada a los sentidos. Se conocen muy bien los límites del empirismo como teoría del conocimiento y práctica pedagógica. Una de las fortalezas de las matemáticas reside precisamente en la abstracción que le permite hacer su lenguaje. El problema es que este lenguaje y los conceptos que expresa corren el peligro de permanecer sin ningún sentido, sin una propuesta pedagógica que asegure el paso a lo abstracto”.

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Parra, C. (Ed), Saiz, I. (Ed) (1997). Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Argentina, Editorial Paidós Educador.

“Con frecuencia se oponen cálculo escrito y cálculo mental. En este sentido, queremos aclarar que la concepción de cálculo mental que vamos a desarrollar no excluye la utilización de lápiz y papel, particularmente en cuanto, por ejemplo, al registro de cálculos intermedios en un proceso que es, en lo esencial, mental”.

“Parece más neta y fundamental la distinción entre el cálculo en el que se emplea de modo sistemático un algoritmo único sean cuales fueren los números a tratar y el cálculo en el que, en función de los números y la operación planteada, se selecciona un procedimiento singular adecuado a esa situación, y que puede no serlo para otra”.

“El primero suele denominarse cálculo automático o mecánico, y se refiere a la utilización de un algoritmo o de un material (contador, regla de cálculo, calculadora, tabla de algoritmos, etcétera)”.

“El segundo es llamado cálculo pensado o reflexionado. Es en proximidad con este significado que vamos a considerar el cálculo mental”.

“Entenderemos por cálculo mental el conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan, sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados”.

“Los procedimientos de cálculo mental se apoyan en las propiedades del sistema de numeración decimal y en las propiedades de las operaciones, y ponen en juego diferente tipo de escritura de los números, así como diversas relaciones entre los números”.

“Para muchas personas cálculo mental se asocia con cálculo rápido. En la perspectiva que adoptamos, la rapidez no es una característica ni un valor aunque pueda ser una herramienta en situaciones didácticas en las que, por ejemplo, les permita a los alumnos distinguir aquellos cálculos de los que disponen los resultados en memoria de los que no”.

“No estamos proponiendo reemplazar o descartar el cálculo escrito y exacto en el que se utilizan algoritmos. Todos los niños deben poder realizar cualquier cálculo escrito que se les proponga”.

“Los algoritmos tienen la ventaja de poder aplicarse mecánicamente sin reflexionar a cada paso. En cambio, pueden ser muy pesados de realizar en algunas situaciones. En tales casos, es conveniente que los alumnos sepan usar otros recursos como las calculadoras y las computadoras”.

“El hecho de que los algoritmos se lleguen a automatizar no significa que para su aprendizaje se sacrifique la comprensión”.

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